「Tan1°は有理数か。」の版間の差分

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{{タイトル|tan1°は有理数か。}}
{{Q|[[無理数]]に決まってるだろ。|京大受験生|tan1°}}
「'''tan1°は有理数か。'''」(たんじぇんといちど-ゆうりすう-)は、2006年度の[[京都大学]]後期入学試験[[数学]]の最終問題として出された、受験界で[[伝説]]とも言われている究極難度の問題である。最も短い大学入学試験問題として、そろそろ[[ギネスブック]]に登録される予定である。
{{ウィキペディア無し}}
 
== 概要 ==
通常、京都大学の数学の試験では、大体50行程度の文章や数式が延々と並び、最終的に3重根号がついたような値を求めさせたり、日が暮れるような長い[[証明]]を与えさせたりするものがほとんどであるが、この「'''tan1°は有理数か。'''」は、珍しく大変短いものとなっている。
 
そのためこの年は、快調に問1~5(文系ならば問1~問4)を処理した受験生が、「さて最終問題は何百行あるのかな」と問題用紙をめくると、たった10文字程度のこの問題が現れたため、卒倒してそのまま翌年は[[東京大学]]に志望変更するという珍現象が見られた。
 
== 受験者の回答例 ==
某大手予備校と京大関係者の協力を得て、受験者の回答例を回答者名を伏せてここに示す。カッコ内の数字は全受験者の回答に占める割合を表す。
 
===tan1°は無理数===
*'''×'''[[無理数]]に決まってんじゃん(30%)
*'''×'''[[なんとなく]]無理数じゃん? ほら、何というか・・・(20%)
*'''×'''sin1°が無理数で、cos1°も無理数だから、tan1°= sin1°/ cos1°も無理数。(20%)
**'''×'''で、sin1゚, cos1゚はなぜ無理数かというと、[[円周率|π]]が無理数なのは自明だから、sin1゚, cos1゚も無理数。(うち15%)
*'''×'''こんなの無理っ数(1%)
*'''×'''題意は「(焼肉の)'''タン1'''(枚)'''。'''」のことを指している。しかしながらタン塩1枚だけを注文することは不可能である。従って、タン1。=Tan1° は無理数ということが判明する。(0.1%)
*'''×'''8000桁まで示す(0.01%)
:さすがは京大受験生。その[[スペック]]を充分に発揮して'''その場計算'''で8000桁まで記し「ここまで示せば無理数であることをお解かりいただけるであろう」と締め括った者が1名いたが、'''×'''になった。<ref>関係者によると、教授会で「ここまでできるのなら入学させてもいいんじゃないか」という意見も出たが、「バカと天才は紙一重というが、この子はバカのほうではなかろうか?」という意見で却下された。</ref>
 
====具体的な数式を出した回答例====
<div id="加法定理と2倍角の公式を使った例"></div>
*[[加法定理]]と[[2倍角の公式]]を使った例(3%)
 
:<math>\tan 1^\circ</math>は有理数であると仮定する。
:2倍角の公式より、
::<math>\tan 2^\circ = \frac{2\tan 1^\circ}{1-\tan^2 1^\circ}</math>
:よって、<math>\tan 2^\circ</math>も有理数。
:同様にして、<math>\tan 4^\circ, \tan 8^\circ, \tan 16^\circ, \tan 32^\circ, \tan 64^\circ</math>も有理数。
:
:また、加法定理より
::<math>
\begin{align}
\tan 60^\circ
&= \tan (64^\circ - 4^\circ) \\
&= \frac{\tan 64^\circ -\tan 4^\circ}{1+\tan 64^\circ \tan 4^\circ}
\end{align}
</math>
:であり、<math>\tan 4^\circ, \tan 64^\circ</math>がともに有理数であるから、<math>\tan 60^\circ</math>も有理数。
:ところが、<math>\tan 60^\circ = \sqrt{3}</math> であり、<math>\sqrt{3}</math> は無理数だから、
:<math>\tan 1^\circ</math>は有理数の仮定から導いた「<math>\tan 60^\circ</math>は有理数」と[[矛盾]]する。
:よって、<math>\tan 1^\circ</math>は無理数である。
 
:'''×'''・・・<math>\tan 60^\circ = \sqrt{3}</math>であることを証明していないし、<math>\sqrt{3}</math>が無理数であることも証明していない。<ref>また、証明なしに加法定理や二倍角の公式を扱っているため、その時点で不正解とされる可能性もある。</ref>
 
===tan1°は有理数===
*'''×'''tan1°が[[有理数]]なのは自明(3%)
:その妙な自信はどこから?
*'''×'''こういう問題を出すからには、どうせ有理数なのだろう。(3%)
:その裏を読むひねくれた考え方は[[アンサイクロペディアン]]としては優秀だが。
 
====具体的な数式を出した回答例====
*'''?'''「[[1=2]]」を用いた例(5%)
:tan1°は無理数であると仮定する。
:このとき、1=2よりtan2°は無理数。
:以下同様にしてtan45°やtan[[156]]°も無理数となるが、tan45゚=1より矛盾する。
:よって、tan1°は有理数である。
 
:当初、この回答は'''×'''とされたが、半年後に正解ではないかと指摘され、物議をかもしている。「[[1=2]]」は正しいが、2文目、3文目に誤謬があるのではないかと主張する数学者もいる。
 
*「[[円周率|円周率=3.0]]」を用いた例(5%)
:tan1°は無理数であると仮定する。
:tan1゚=tan(1*π/180)は無理数。
:π=3より、tan(1/60)も無理数。
 
:2倍角の公式と加法定理より([[#加法定理と2倍角の公式を使った例|加法定理と2倍角の公式を使った例]]と同様)
:tan(2/60)、tan(3/60)、tan(8/60)、tan(32/60)も無理数。
 
:同様にして、tan((32+8+3+2) /60)=tan(3/4)も無理数。
:これはtan(3/4)=tan(π/4)=1で有理数であることと矛盾する。
:よって、tan1°は有理数である。
 
:'''×'''・・・教授連中が「π=3.14…」と訳のわからないことを言い出して'''×'''とされた。
 
{{自由スタブ||ここに数式を入力してください。|cat=教育関連のスタブ}}
 
===その他===
*とりあえず和文英訳してみた例(0.01%)
:Is tan1° a rational number?
 
*実数でないと主張した例(0.01%)
:tan1°=iと仮定する。
:iは虚数。よって、tan1°も虚数。
 
*一応の成功を示唆した例(0.01%)
:[[驚くべき証明を見つけたがそれを書くには狭すぎる|私は素晴らしい解法を思いついたが、それを書くには時間が足りない]]。
 
==で結局、どれが正解なのよ?==
神のみぞ知る。というより一番おもしろい回答例を書いた奴が優勝(何の話?) <span style="color:#ffffff;"> <del> まぁ頭の固い人のために補足するが加法定理と2倍角の公式を使った例が正解だが・・・。 </del> </span>
 
== 他の入試における超難問 ==
*「3 以上の[[自然数]] ''n'' について、''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> = ''z''<sup>''n''</sup> となる 0 でない自然数 (''x'', ''y'', ''z'') の組み合わせがないことを証明せよ」(東京大学理科4類入試問題/1990年)
:[[20世紀]]の終わりごろ、世界中の[[数学者]]達は『[[フェルマーの最終定理]]』と呼ばれる難問に頭を悩ませていた。日本の[[東大生]]なら1人ぐらい解いてくれるんじゃないかと淡い期待を抱いてこっそり入試問題に紛れ込ませてみたが、'''さすがに全滅だった'''。
 
== 脚注 ==
<references />
 
==関連項目==
*[[証明]]
*[[背理法]]
*[[数学的帰納法]]
 
{{DEFAULTSORT:たんしえんと1とはゆうりすうか}}
[[Category:数学]]
[[Category:問題]]
[[Category:テストに出る記事]]
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